Het 6E-model: een compromis tussen positivistisch en constructivistisch wiskundeonderwijs?
Al twintig jaar woedt een didactische polarisatie in het wiskundeonderwijs in Nederland en Vlaanderen. Een analyse voor het secundair/voortgezet onderwijs via twee kernvragen laat toe een compromisvisie te formuleren, die pluspunten van de beide heersende paradigma’s verenigt. Deze zogenaamde constructivistische instructie wordt concreet gemaakt in het 6E-model, een instructiemodel dat een handvat biedt aan leraren en student-leraren om effectief en motiverend wiskundeonderwijs te realiseren. Dit model verenigt - enigszins verrassend - contextrijke motivatie, contextvrije vastzetting van de inhouden, leerkrachtgestuurde instructie, constructivistische leerstrategieën en activerende werkvormen.
Twee visies op wiskundeonderwijs
Het wiskundeonderwijs op de secundaire school wordt de laatste twee decennia getekend door een fundamenteel didactisch meningsverschil. Er bestaat wel een zekere eensgezindheid over de afbouw van de zogenaamde moderne wiskunde, die ondertussen van het toneel is verdwenen, maar allerminst over het alternatief. Er ontstonden twee strekkingen met quasi-onverzoenbare meningen over wiskundeonderwijs: de positivistische visie en de socio-constructivistische visie.
In de positivistische aanpak staat de leerinhoud centraal. Het schoolvak wiskunde is een afspiegeling van de wiskunde als wetenschappelijke discipline. Dit impliceert een axiomatische opbouw en het maken van bewijzen. De aanpak is vaak klassikaal, waarbij de leraar het onderwijsleerproces sterk stuurt. De positivistische wiskundeleraar heeft veel aandacht voor correcte wiskundetaal en voor formule- en rekenvaardigheid. Hij wil het instrumentarium van de leerlingen vergroten en daarom expliciteert hij resultaten in de vorm van eigenschappen en consolideert hij vaardigheden via repetitieve oefeningen. De positivistische aanpak wordt wel eens verweten saai en niet-motiverend te zijn.
In de socio-constructivistische aanpak worden leerlingen gestimuleerd om zo zelfstandig mogelijk de leerinhouden te herontdekken. Zij lossen problemen op die geformuleerd zijn binnen een vakoverschrijdend of maatschappelijk relevant kader (een zogenaamde realistische context). Het persoonlijke zoekproces is daarbij belangrijker dan het resultaat en verschillende oplossingsmethoden zijn daarom per definitie gelijkwaardig. De socio-constructivistische wiskundeleraar gebruikt vaak niet-klassikale werkvormen, stimuleert ICT-gebruik en peer-instruction, doorbreekt de schotten tussen algebra en meetkunde en geeft zijn leerlingen de vrijheid om hun eigen leerproces te sturen. Hij streeft probleemoplossende vaardigheden en de onderzoekscompetenties na. De socio-constructivistische aanpak wordt wel eens verweten minder sterke leerlingen onvoldoende houvast te bieden en sterke leerlingen onvoldoende voor te bereiden op het tertiair onderwijs.
In Nederland werd het socio-constructivistische gedachtegoed van het Freudenthal-instituut grootschalig geïmplementeerd: de leerling werd een onderzoeker, die de wiskunde zelfsturend herontdekt. De vraag naar de meer klassieke aanpak en naar meer aandacht voor rekentechnieken klonk echter jaar na jaar luider. Ze leidde tot het opgemerkt studentenprotest Lieve Maria (2006), tot discussies in de media en zelfs tot de Commissie Parlementair Onderzoek Onderwijsvernieuwingen (de commissie-Dijsselbloem, 2008). Recent werden de eindexamenprogramma’s wiskunde aangepast, maar de eendracht over de didactische aanpak is nog steeds ver zoek.
In Vlaanderen is de situatie net omgekeerd. Het positivistische wiskundeonderwijs is er nog lang niet verdwenen. Het socio-constructivisme sijpelt zonder poeha mondjesmaat binnen. Nochtans staan ook in Vlaanderen beide strekkingen vaak lijnrecht tegenover elkaar. Dit leidt tot onopgeloste discussies binnen vakgroepen, tot compromis-leerplannen, tot grote verschillen tussen leerboeken en tot een heterogeniteit onder scholen.
Het is niet de bedoeling in dit artikel een standpunt over de positivistische aanpak of de socio-constructivistische aanpak in te nemen. Integendeel, een eerste doel is net de polarisatie te demythologiseren, door in te zoomen op de essentiële aspecten van het dispuut. Een tweede doel bestaat erin wetenschappelijk aangetoonde pluspunten van beide visies te laten convergeren naar een instructiemodel.
De ontologische en de epistemologische dimensie
De grote verschillen tussen de positivistische aanpak en de socio-constructructivistische aanpak zijn emanaties van een meningsverschil over slechts twee fundamentele vragen: ‘Wat is het schoolvak wiskunde?’ en ‘Hoe leert een leerling wiskunde?’.
Op de vraag ‘Wat is het schoolvak wiskunde?’, de zogenaamde ontologische vraag, zijn twee extreme antwoorden mogelijk. Voor sommigen is de wiskunde een verzameling van feiten – definities en eigenschappen – die kunnen worden ingezet om de wereld rondom ons beter te begrijpen. Dit noemt men wel eens de statische ontologische visie op wiskunde; ze focust voornamelijk op kennis- en inzichtsdoelen. Voor anderen is de wiskunde een ontdekkingstocht, een onderzoeksproces of zoals Simon Stevin het vakgebied benoemde, de wisconst: de kunst van het redeneren. Dit noemt men wel eens de dynamische ontologische visie op wiskunde; ze focust voornamelijk op vaardigheden en competenties. De ontologische dimensie is in de praktijk een continuüm, waarbij men beide definities van wiskunde in meer of mindere mate aanhangig kan zijn.
Op de vraag ‘Hoe leert een leerling wiskunde?’, de zogenaamde epistemologische vraag, zijn opnieuw twee extreme antwoorden mogelijk. Volgens sommigen zullen leerlingen het best leren als zij de inhouden zo transparant mogelijk door de leraar aangeboden krijgen: zij leren dus receptief. De rol van de leerling is die van een passieve doch aandachtige luisteraar of kijker; de leraar is de strenge regisseur van het onderwijsleerproces. Volgens anderen zullen leerlingen het best constructivistisch leren: op basis van wat ze al kennen, zoeken ze hun eigen antwoorden op nieuwe problemen en bouwen zo zelfstandig hun wiskundekennis stapsgewijs op. Hierbij is de rol van de leerling actief en zelfsturend; de rol van de leraar is die van coach ‘met de handen op de rug’. Deze epistemologische dimensie is opnieuw een continuüm waarbij beide vormen van leren in meer of mindere mate aanwezig kunnen zijn.
Door combinatie van de ontologische en de epistemologische vraag, komen vier verschillende visies op wiskundeonderwijs aan het licht. Met het oogpunt op een klare discussie en op een eventueel compromis, is het bijzonder sneu dat in de praktijk meestal maar twee visies herkenbaar zijn. Vaak wordt de ontologische dimensie die wiskunde als een verzameling van feiten beschouwt, spontaan geassocieerd met de epistemologische dimensie van het receptief leren: de leraar als aanbrenger van veel feitenkennis. Zo ontstaat het beeld van zuiver positivistisch wiskundeonderwijs, dat hierboven werd geschetst. Op dezelfde manier wordt de ontologische dimensie van wiskunde als onderzoeksproces vaak spontaan in verband gebracht met constructivistisch leren: de leraar als coach van een individuele zoektocht. Zo ontstaat het beeld van zuiver socio-constructivistisch wiskundeonderwijs, dat hierboven werd toegelicht. De figuur illustreert de polarisatie binnen de
ontologische en de epistemologische dimensie.
ontologische en de epistemologische dimensie.
De verticale as drukt de ontologische dimensie uit. De horizontale as stelt de epistemologische dimensie voor. De twee assen samen vormen een tweedimensionale voorstelling (Schraw & Olafson 2008), waarop het positivistisch en het socio-constructivistisch onderwijs kunnen worden gepositioneerd.
Constructivistische instructie
De twee lege kwadranten en de afwezigheid van een onderwijsvisie in het centrum van de figuur vormen een flagrante illustratie van het bestaan van een meer gematigde ‘derde weg’. Een mogelijk alternatief, dat we constructivistische instructie zullen noemen, steunt op volgende peilers:
De keuze voor constructief (en dus controleerbaar actief) leren en voor motivering van de les vanuit een realistische context, beoogt de verhoging van het leerlingenwelbevinden (o.m. Hamer 2010). De keuze om dit constructivistisch leren stricto sensu en dus contextvrij te implementeren, wordt gemotiveerd door onderzoek in de cognitieve psychologie (o.m. Kirschner 2006). Volgens recente inzichten is het werkgeheugen van de leerling immers niet uitgerust om efficiënt in een probleemgebaseerde context te redeneren. Bovendien leidt zo’n intensief gebruik van het werkgeheugen niet tot het vastzetten van kennis in het langetermijngeheugen.
De onverwachte keuze voor leraargestuurde werkvormen wordt opnieuw gemotiveerd door aperte onderzoeksresultaten uit de cognitieve psychologie (o.m. Mayer 2004). Die worden, voor het vak wiskunde, bevestigd door Vlaams pedagogisch onderzoek (Opdenakker 2004).
De volgende figuur illustreert de positie van constructivistische instructie op de ontologische en epistemologische dimensie.
Constructivistische instructie
De twee lege kwadranten en de afwezigheid van een onderwijsvisie in het centrum van de figuur vormen een flagrante illustratie van het bestaan van een meer gematigde ‘derde weg’. Een mogelijk alternatief, dat we constructivistische instructie zullen noemen, steunt op volgende peilers:
- het leren gebeurt constructivistisch, maar wordt door de leraar gestuurd;
- kennis, inzicht en vaardigheden vormen het doel, maar er is ruime aandacht voor het onderzoeksproces om nieuwe inhouden geleid te herontdekken;
- realistische contexten worden als belangrijk motivatieverhogend element gebruikt, maar de inhouden worden contextvrij geëxpliciteerd en geconsolideerd.
De keuze voor constructief (en dus controleerbaar actief) leren en voor motivering van de les vanuit een realistische context, beoogt de verhoging van het leerlingenwelbevinden (o.m. Hamer 2010). De keuze om dit constructivistisch leren stricto sensu en dus contextvrij te implementeren, wordt gemotiveerd door onderzoek in de cognitieve psychologie (o.m. Kirschner 2006). Volgens recente inzichten is het werkgeheugen van de leerling immers niet uitgerust om efficiënt in een probleemgebaseerde context te redeneren. Bovendien leidt zo’n intensief gebruik van het werkgeheugen niet tot het vastzetten van kennis in het langetermijngeheugen.
De onverwachte keuze voor leraargestuurde werkvormen wordt opnieuw gemotiveerd door aperte onderzoeksresultaten uit de cognitieve psychologie (o.m. Mayer 2004). Die worden, voor het vak wiskunde, bevestigd door Vlaams pedagogisch onderzoek (Opdenakker 2004).
De volgende figuur illustreert de positie van constructivistische instructie op de ontologische en epistemologische dimensie.
Constructivistische instructie combineert dus het constructivistisch leren, de aandacht voor onderzoekscompetenties en het gebruik van realistische contexten uit de socio-constructivistische benadering, enerzijds, met de aandacht voor de abstracte leerinhouden, de repetitieve training van vaardigheden en de leerkrachtgestuurde werkvormen uit de positivistische benadering, anderzijds.
Het 6E-model
De aanpak via constructivistische instructie kan worden geconcretiseerd met het 6E-model. Het model wordt toegepast om één nieuw begrip of één nieuwe eigenschap aan te brengen. Het 6E-model is dus geen lesmodel, in die zin dat in één lestijd de zes leerstappen uit het 6E-model soms verschillende keren worden doorlopen. Elk van de zes leerstappen in het model neemt tussen één en tien minuten in beslag, naargelang van het onderwerp en van de didactische keuzes van de leraar.
De keuze voor leerstappen is een welbekend fenomeen, dat zelfs in de socio-constructivistische visie frequent voorkomt (o.a. Driver & Oldham 1986). Bovendien is een didactische fasering onontbeerlijk om tot constructivistische instructie te komen: enerzijds, om de contextgebonden aanpak (leerstap E2) en de contextvrije aanpak (leerstappen E4, E5 en E6) tastbaar te compartimenteren en anderzijds, om de sturende leraar te verplichten het constructivistisch leren te accomoderen (leerstappen E1, E3, E4 en E5).
Het 6E-model
De aanpak via constructivistische instructie kan worden geconcretiseerd met het 6E-model. Het model wordt toegepast om één nieuw begrip of één nieuwe eigenschap aan te brengen. Het 6E-model is dus geen lesmodel, in die zin dat in één lestijd de zes leerstappen uit het 6E-model soms verschillende keren worden doorlopen. Elk van de zes leerstappen in het model neemt tussen één en tien minuten in beslag, naargelang van het onderwerp en van de didactische keuzes van de leraar.
De keuze voor leerstappen is een welbekend fenomeen, dat zelfs in de socio-constructivistische visie frequent voorkomt (o.a. Driver & Oldham 1986). Bovendien is een didactische fasering onontbeerlijk om tot constructivistische instructie te komen: enerzijds, om de contextgebonden aanpak (leerstap E2) en de contextvrije aanpak (leerstappen E4, E5 en E6) tastbaar te compartimenteren en anderzijds, om de sturende leraar te verplichten het constructivistisch leren te accomoderen (leerstappen E1, E3, E4 en E5).
